Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其圖象在點處切線的斜率為-3.

（1）求與關(guān)系式；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（用只含有的式子表示）；

（3）當(dāng)時，令，設(shè)是函數(shù)的兩個零點， 是與的等差中項，求證： （為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】試題分析：（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，即可得解；

（2）由（1）知， ，討論， 和時導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而得函數(shù)的單調(diào)性；

（3）根據(jù)條件得，兩式作差得，從而得， ，構(gòu)造函數(shù)求最值即可證得.

試題解析：

（1）函數(shù)的定義域為，

，由得， .

（2）由（1）知， ，

①當(dāng)時， 在上單調(diào)遞減；

②當(dāng)時，令，得，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

③當(dāng)時，若時， 在上單調(diào)遞減；

若時， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

綜上，當(dāng)時， 的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，

當(dāng)時， 的單調(diào)減區(qū)間為，

當(dāng)時， 的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.

（3）當(dāng)時， ，則， ，

∵與是函數(shù)的兩個零點，∴，

兩式相減得， ，

∵，∴ ，

∵，∴ ，

∴ ，

令，∵，∴ ， ，

，

∴在單調(diào)遞減，∴， ，∴ .