Question

16．設(shè)D為不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{y}{{t}^{2}}≤1}\\{（{t}^{2}+1）x-y≥-{t}^{2}}\\{x-2y≤1}\end{array}\right.$，表示的平面區(qū)域，其中t為常數(shù)且0＜t＜1，點B（m，n）為坐標平面xOy內(nèi)一點，若對于區(qū)域D內(nèi)的任一點A（x，y），都有$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$≤1成立，則m+n的最大值等于1．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，求出三角形頂點的坐標，由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$≤1得到關(guān)于m，n的不等式組，再作出可行域，由線性規(guī)劃知識求得m+n的最大值．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{y}{{t}^{2}}≤1}\\{（{t}^{2}+1）x-y≥-{t}^{2}}\\{x-2y≤1}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{（{t}^{2}+1）x-y=-{t}^{2}}\\{x-2y=1}\end{array}\right.$，解得A₁（-1，-1），
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$≤1，得mx+ny-1≤0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-1≤0}\\{{t}^{2}n-1≤0}\\{m+n-1≤0}\end{array}\right.$，作出可行域如圖，

令z=m+n，由圖可知，m+n的最大值等于1．
故答案為：1．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法及數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查計算能力，難度較大．