Question

18．在數(shù)1和100之間插入n個實數(shù)，使得這n+2個數(shù)構成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個數(shù)的乘積記作T_n，再令a_n=lgT_n，n≥1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=（-1）^n-1$\frac{2{a}_{2n}}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$，設數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，T_n=S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$，求T_n的最大項和最小項．

Answer 1

分析 （1）由題意，數(shù)1和100之間插入n個實數(shù)，使得這n+2個數(shù)構成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個數(shù)的乘積記作T_n，由等比數(shù)列的性質(zhì)易得T_n=${100}^{\frac{n+2}{2}}$，代入a_n=lgT_n，求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）求出b_n的表達式，討論n為奇數(shù)和偶數(shù)對應的前n項和為S_n，即可求T_n的最大項和最小項．

解答 解：（1）∵數(shù)1和100之間插入n個實數(shù)，使得這n+2個數(shù)構成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個數(shù)的乘積記作T_n，
∴由等比數(shù)列的性質(zhì)，序號的和相等，則項的乘積也相等知T_n=${100}^{\frac{n+2}{2}}$，
又a_n=lgT_n，（n∈N*），
∴a_n=lgT_n=lg${100}^{\frac{n+2}{2}}$=lg10ⁿ⁺²=n+2．
（2）b_n=（-1）^n-1$\frac{2{a}_{2n}}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$=（-1）^n-1•$\frac{{a}_{2n-1}+{a}_{2n+1}}{{a}_{2n-1}•{a}_{2n+1}}$=（-1）^n-1•（$\frac{1}{{a}_{2n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{2n-1}}$），
當n=2k時，S_n=1+$\frac{1}{3}-（\frac{1}{3}+\frac{1}{5}）$+（$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+3}$）=1-$\frac{1}{2n+3}$=$\frac{2n+2}{2n+3}$，
當n=2k-1時，S_n=S_2K-b_n+1=1+$\frac{1}{2n+3}$=$\frac{2n+4}{2n+3}$，
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2n+2}{2n+3}，}&{n為偶數(shù)}\\{\frac{2n+4}{2n+3}，}&{n為奇數(shù)}\end{array}\right.$，
則當n為偶數(shù)時，T_n=S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2n+2}{2n+3}-\frac{2n+3}{2n+2}$=$\frac{-4n-5}{（2n+3）（2n+2）}$為減函數(shù)，∴最大值為${T}_{1}=-\frac{9}{20}$，
當n為奇數(shù)時，T_n為增函數(shù)，最小值為T₁=$\frac{11}{30}$．

點評 本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，解題的關鍵是熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)，再結合對數(shù)的運用性質(zhì)得出求出數(shù)列{a_n}的通項公式，本題考查了綜合利用知識轉(zhuǎn)化變形的能力．