Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，又PA⊥底面ABCD，E為BC的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥PE；
（2）設(shè)F是PD的中點(diǎn)，求證：CF∥平面PAE．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）先根據(jù)菱形的性質(zhì)判斷出AE⊥BC．根據(jù)BC∥AD，推斷出AE⊥AD．然后利用線面垂直的性質(zhì)證明出PA⊥AD．進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理證明出AD⊥平面PAE，最后利用線面垂直的性質(zhì)可知AD⊥PE．
（2）取AD的中點(diǎn)G，連結(jié)FG、CG，易得FG∥PA，CG∥AE，所以平面CFG∥平面PAE，進(jìn)而可得CF∥平面PAE．

解答： （1）證明：因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，∠ABC=60°，且E為BC的中點(diǎn)，
所以AE⊥BC．
又BC∥AD，
所以AE⊥AD．
又PA⊥底面ABCD，AD?底面ABCD，
所以PA⊥AD．
因?yàn)锳E?平面PAE，PA?平面PAE，PA∩AE=A，
所以AD⊥平面PAE，
∵PE?平面PAE，
所以AD⊥PE．
（2）證明：取AD的中點(diǎn)G，連結(jié)FG、CG，
因?yàn)镚，F(xiàn)是中點(diǎn)，
∴FG∥PA，CG∥AE，
∵FG?平面CFG，CG?平面CFG，F(xiàn)G∩CG=G，PA?平面PAE，AE?平面PAE，PA∩AE=A，
∴平面CFG∥平面PAE，
∵CF?平面CFG，
∴CF∥平面PAE．

點(diǎn)評：本題主要考查了線面垂直和線面平行的判定定理的應(yīng)用．證明的關(guān)鍵是先證明出線線平行和線線垂直．