Question

已知|

a

|=3，|

b

|=2，

a

與

b

的夾角為

π

3

，是否存在常數k，

c

=2

a

-k

b

，

d

=k

a

-

b

，使

c

⊥

d

？若存在，求出k；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：利用向量垂直與數量積的關系即可得出．

解答： 解：∵|

a

|=3，|

b

|=2，

a

與

b

的夾角為

π

3

，∴

a

•

b

=|

a

| |

b

|cos

π

3

=3×2×

1

2

=3．
假設存在常數k，

c

=2

a

-k

b

，

d

=k

a

-

b

，使

c

⊥

d

．
則

c

•

d

=(2

a

-k

b

)•(k

a

-

b

)=0，
化為2k

a

2+k

b

2-(2+k2)

a

•

b

=0，
∴2k×3²+k×2²-（2+k²）×3=0，化為3k²-22k+6=0，
解得k=

22±2 103

6

=

11± 103

3

．
故存在k=

11± 103

3

滿足

c

⊥

d

．

點評：本題考查了向量垂直與數量積的關系、數量積定義，屬于基礎題．