Question

6．在空間中，已知平面α過點（3，0，0）和點（0，4，0）及z軸上一點（0，0，a）（a＞0），如果平面α與平面xOy上的夾角為45°，則a=$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 可畫出圖形，根據(jù)條件可設A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，a），然后可過O作OD⊥AB，并交AB于D，連接CD，可以求出OD的長度，而根據(jù)三垂線定理能夠說明∠ODC=45°，從而便可得出a的值．

解答 解：如圖，設A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，a），則：
在Rt△OAB中，OA=3，OB=4；
∴AB=5；
過O作OD⊥AB，垂足為D，并連接CD，則：3•4=5•OD；
∴OD=$\frac{12}{5}$；
∵OC⊥平面OAB，OD⊆平面OAB，且OD⊥AB；
∴根據(jù)三垂線定理得：CD⊥AB；
∴∠ODC是平面ABC和平面OAB所成二面角的平面角，根據(jù)題意知該角為45°；
∴OC=OD=$\frac{12}{5}$；
∴$a=\frac{12}{5}$．
故答案為：$\frac{12}{5}$．

點評 考查對空間直角坐標系的認識，能找到空間點的位置，理解平面與平面所成角的概念，平面和平面所成二面角的平面角的概念，能找到二面角的平面角，以及三垂線定理．