Question

1．已知雙曲線C的焦點在x軸上且漸近線方程為y=±$\sqrt{2}$x，直線L：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-3）與雙曲線C交于A，B兩點，|AB|=$\frac{16\sqrt{3}}{5}$，求雙曲線C的方程．

Answer 1

分析 由題意，$\frac{a}$=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$a設(shè)雙曲線方程為2x²-y²=2a²，直線L：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-3）與雙曲線C聯(lián)立，消去y，可得5x²+6x-9-6a²=0，利用|AB|=$\frac{16\sqrt{3}}{5}$，建立方程，即可求雙曲線C的方程．

解答 解：由題意，$\frac{a}$=$\sqrt{2}$，∴b=$\sqrt{2}$a
設(shè)雙曲線方程為2x²-y²=2a²，
直線L：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-3）與雙曲線C聯(lián)立，消去y，可得5x²+6x-9-6a²=0，
∵|AB|=$\frac{16\sqrt{3}}{5}$，
∴$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$•$\sqrt{（-\frac{6}{5}）^{2}-4•\frac{-9-6{a}^{2}}{5}}$=$\frac{16\sqrt{3}}{5}$，
∴a=$\sqrt{3}$，∴b=$\sqrt{6}$，
∴雙曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{6}=1$．

點評 本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，考查了待定系數(shù)法、弦長公式，以及韋達定理的應(yīng)用，屬于中檔題．