Question

16．f（x）=x•lg（$\frac{1+x}{1-x}$）．
（1）證明函數的奇偶性；
（2）判斷f（x）在[0，1）上的單調性（只需寫出單調性結論，不需要證明過程），并解不等式f（x）＞f（2x-1）．

Answer 1

分析 （1）根據定義f（-x）=（-x）lg$\frac{1-x}{1+x}$=（-x）lg[$\frac{1+x}{1-x}$]^-1=x•lg$\frac{1+x}{1-x}$，得出f（x）為偶函數；
（2）運用f（x）為偶函數，且在[0，1）遞增，在（-1，0]遞減，列出不等式組求解．

解答 解：（1）∵$\frac{1+x}{1-x}$＞0，∴-1＜x＜1，
即函數f（x）的定義域為（-1，1），
又f（-x）=（-x）lg$\frac{1-x}{1+x}$=（-x）lg[$\frac{1+x}{1-x}$]^-1=x•lg$\frac{1+x}{1-x}$，
所以，f（-x）=f（x），
故f（x）為偶函數；
（2）f（x）=xlg$\frac{1+x}{1-x}$為[0，1）上的增函數，
又因為f（x）為偶函數，所以x∈（-1，0]是減函數，
所以，不等式f（x）＞f（2x-1）等價為：$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜1}\\{-1＜2x-1＜1}\\{|x|＞|2x-1|}\end{array}\right.$，
解得x∈（$\frac{1}{3}$，1），
∴原不等式的解集為{x|$\frac{1}{3}$＜x＜1}．

點評 本題主要考查了函數奇偶性的證明，以及應用函數的奇偶性和單調性解不等式，屬于中檔題．