Question

11．已知函數(shù)f（x）=x²-a1nx和g（x）=x-a$\sqrt{x}$在x=1處的切線平行．
（1）試求函數(shù)f（x）和g（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）設(shè)1＜b＜3，求證：lnb+$\sqrt$＜2b．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）=x²-a1nx和g（x）=x-a$\sqrt{x}$在x=1處的切線平行，求出a，即可求函數(shù)f（x）和g（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）設(shè)h（x）=f（x）+g（x），則h（x）在（1，3）上單調(diào)遞增，即可證明：lnb+$\sqrt$＜2b．

解答 （1）解：∵f（x）=x²-a1nx，∴f′（x）=2x-$\frac{a}{x}$，∴f′（1）=2-a．
∵g（x）=x-a$\sqrt{x}$，∴g′（x）=1-$\frac{a}{2\sqrt{x}}$，∴g′（1）=1-$\frac{a}{2}$，
∵函數(shù)f（x）=x²-a1nx和g（x）=x-a$\sqrt{x}$在x=1處的切線平行．
∴2-a=1-$\frac{a}{2}$，
∴a=2，
∴f′（x）=$\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$＞0，單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）；
g′（x）=$\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$＞0，單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）；
（2）證明：設(shè)h（x）=f（x）+g（x），則h（x）在（1，3）上單調(diào)遞增，
∴h（1）＜h（b）＜h（3），
∴b²+b-2lnb-2$\sqrt$＞0，
∴2lnb+2$\sqrt$＜b²+b＜4b，
∴l(xiāng)nb+$\sqrt$＜2b．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．