Question

如圖在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中E為BC的中點，點P在線段D₁E上，點P到直線CC₁的距離的最小值為（　　）

• A、

  5

• B、

  2 5

  5

• C、

  5

  2

• D、

  5

  5

Answer 1

考點：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：取B₁C₁的中點F，連接EF，ED₁，利用線面平行的性質(zhì)即可得到C₁C∥平面D₁EF，進而得到異面直線D₁E與C₁C的距離．

解答： 解：如圖所示，取B₁C₁的中點F，連接EF，ED₁，
∵EF

∥

.

CC₁，CC₁⊥底面ABCD，∴四邊形EFC₁C是矩形．
∴CC₁∥EF，
又EF?平面D₁EF，CC₁?平面D₁EF，∴CC₁∥平面D₁EF．
∴直線C₁C上任一點到平面D₁EF的距離是兩條異面直線D₁E與CC₁的距離．
過點C₁作C₁M⊥D₁F，
∵平面D₁EF⊥平面A₁B₁C₁D₁．
∴C₁M⊥平面D₁EF．
過點M作MP∥EF交D₁E于點P，則MP∥C₁C．
取C₁N=MP，連接PN，則四邊形MPNC₁是矩形．
可得NP⊥平面D₁EF，
在Rt△D₁C₁F中，C₁M•D₁F=D₁C₁•C₁F，得C₁M=

2×1

22+12

=

2 5

5

．
∴點P到直線CC₁的距離的最小值為

2 5

5

．
故選：B．

點評：本題考查點到直線的距離的最小值的求法，熟練掌握通過線面平行的性質(zhì)即可得到異面直線的距離是解題的關(guān)鍵．