Question

設(shè)m∈N^*，log₂m的整數(shù)部分用F（m）表示，則F（1）+F（2）+F（3）+…+F（256）的值是

 

．

Answer 1

考點：對數(shù)的運算性質(zhì)

專題：新定義,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：先找到能使log₂m是整數(shù)的m值，再找介于相鄰的兩個這樣的數(shù)值之間的整數(shù)個數(shù)，求值相加即可．

解答： 解：由題意，
F（1）+F（2）+F（3）+F（4）+F（5）+F（6）+F（7）+F（8）+…+F（256）
=F（1）+F（2）+F（2）+F（4）+F（4）+F（4）+F（4）+F（8）+…+F（256）
=（0+1×2+2×2²+3×2³+4×2⁴+…+7×2⁷）+8，
設(shè)S=1×2+2×2²+3×2³+4×2⁴+…+7×2⁷，
則2S=1×2²+2×2³+3×2⁴+4×2⁵+…+7×2⁸，
∴兩式相減，得-S=2+2²+2³+2⁴+…+2⁷-7×2⁸=

2(1-27)

1-2

-7×2⁸=-6×2⁸-2；
∴S=6×2⁸+2；
∴F（1）+F（2）+…+F（1024）=6×2⁸+2+8=1546
故答案為：1546．

點評：本題考查了對數(shù)運算以及數(shù)列求和的錯位相減法，解題時應(yīng)對問題有較強的歸納分析能力和較好的運算能力，是中檔題目．