Question

已知f（x）=2^x-

a

2x

（1）當a∈R，求f（x）在[-2，2]的最小值；
（2）當a=1，2^tf（2t）-mf（t）+2^-t≥0恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）令2^x=t，由x∈[-2，2]，可得t∈[

1

4

，4]．令g（t）=f（x）=t-

a

t

.t∈[

1

4

，4]．通過對a分類討論，利用導數(shù)研究其單調性即可；
（2）當a=1，2^tf（2t）-mf（t）+2^-t≥0化為m（4^t-1）≤4^2t，通過對t分類討論，利用基本不等式的性質即可得出．

解答： 解：（1）令2^x=t，∵x∈[-2，2]，∴2x∈[

1

4

，4]，即t∈[

1

4

，4]．
令g（t）=f（x）=t-

a

t

.t∈[

1

4

，4]．
則g′(t)=1+

a

t2

．
當a≥0時，g′（t）＞0，∴函數(shù)g（t）在t∈[

1

4

，4]單調遞增，∴當t=

1

4

時，g（t）取得最小值，且g(

1

4

)=

1

4

-4a．
當a＜0時，g′(t)=

t2+a

t2

=

(t+ -a )(t- -a )

t2

，
①當

-a

≥4時，即a≤-16時，g′（t）≤0，函數(shù)g（t）在t∈[

1

4

，4]上單調遞減，∴當t=4時，函數(shù)g（t）取得最小值，g（4）=4-

a

4

．
②當

-a

≤

1

4

時，即-

1

16

≤a＜0時，g′（t）≥0，函數(shù)g（t）在t∈[

1

4

，4]上單調遞增，∴當t=

1

4

時，函數(shù)g（t）取得最小值，g（

1

4

）=

1

4

-4a．
③當

1

4

＜

-a

＜4時，即-16＜a＜-

1

16

時，當

1

4

≤t＜

-a

時，g′（t）＜0，此時函數(shù)g（t）單調遞減；當

-a

＜t≤4時，g′（t）＞0，此時函數(shù)g（t）單調遞增．
∴當t=

-a

時，函數(shù)g（t）取得最小值，g(

-a

)=2

-a

．
綜上可得：f（x）_min=

1 4 -4a，a≥- 1 16 -2a ，-16＜a＜- 1 16 4- a 4 ，a≤-16

．
（2）當a=1，2^tf（2t）-mf（t）+2^-t≥0化為m（4^t-1）≤4^2t，
當t=0時，對于任意實數(shù)m恒成立；
當t＜0時，4^t＜1，上式化為m≥

42t

4t-1

，∵

42t

4t-1

=

42t-1+1

4t-1

=4t-1+

1

4t-1

+2=-[(1-4t)+

1

1-4t

]+2＜0，可得m≥0．
當t＞0時，4^t＞1，上式化為m≤

42t

4t-1

，∵

42t

4t-1

=

42t-1+1

4t-1

=4t-1+

1

4t-1

+2≥2

(4t-1)• 1 4t-1

+2=4，當且僅當t=

1

2

時取等號，可得m≤4．
綜上可得：0≤m≤4．
即m的取值范圍是：[0，4]．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值、基本不等式的性質，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．