Question

如圖，兩條相交線段AB、PQ的四個端點都在拋物線y²=x上，其中，直線AB的方程為x=m，直線PQ的方程為y=

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2

x+n．
（1）若n=0，∠BAP=∠BAQ，求m的值；
（2）探究：是否存在常數(shù)m，當(dāng)n變化時，恒有∠BAP=∠BAQ？

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由∠BAP=∠BAQ，知k_AP+k_AQ=0，可得my=2y+m，與y²=m，聯(lián)立方程組，由此能求出m．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由直線PQ的方程y=

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2

x+n與拋物線y²=x聯(lián)立，得y²-2y+2n=0．利用韋達定理結(jié)合對稱性，得到存在常數(shù)m，當(dāng)n變化時，恒有∠BAP=∠BAQ．

解答： 解：（1）由直線PQ的方程y=

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2

x與拋物線y²=x聯(lián)立，解得P（0，0），Q（4，2）．…（2分）
因為∠BAP=∠BAQ，所以k_AP+k_AQ=0．
設(shè)A（m，y），則

y

m

+

y-2

m-4

=0，化簡得my=2y+m，…（5分）
又y²=m，聯(lián)立方程組，解得m=1，或m=4．
因為AB平分∠PAQ，所以m=4不合，故m=1．…（7分）
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由直線PQ的方程y=

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2

x+n與拋物線y²=x聯(lián)立，得y²-2y+2n=0．
△=4（1-2n），y₁+y₂=2，y₁y₂=2n．…（9分）
若存常數(shù)m，當(dāng)n變化時，恒有∠BAP=∠BAQ，則由（1）知只可能m=1．
當(dāng)m=1時，取A（1，-1），∠BAP=∠BAQ等價于

y1+1

x1-1

+

y2+1

x2-1

=0，
即（y₁+1）（2y₂-2n-1）+（y₂+1）（2y₁-2n-1）=0，
即4y₁y₂+2（2n+1）=2（n-1）（y₁+y₂），
即8n=2（2n-1）+2（2n+1），此式恒成立．
∴存在常數(shù)m=1，當(dāng)n變化時，恒有∠BAP=∠BAQ．…（15分）．

點評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，綜合性質(zhì)強，難度大，具有一定的探究性，對數(shù)學(xué)思維的要求較高．