Question

函數(shù).
（1）若，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）設(shè)，若對任意恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）由題意可得，當(dāng)時，在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)等價于對于任意的，（不妨），恒成立，從而將問題轉(zhuǎn)化為
在恒成立，即有，在上恒成立，而的，，且，故有，因此分析可得要使恒成立，只需，即有實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）由題意分析可得問題等價于在上，，從而可將問題轉(zhuǎn)化為在上，求二次函數(shù)
的最大值與最小值，因此需要對二次函數(shù)的對稱軸分以下四種情況討論：①當(dāng)，即；②當(dāng)，即；③當(dāng)，即；④當(dāng)，即，結(jié)合二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可分別得到在以上四種情況下的最大值與最小值，從而可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.
試題解析：（1）時，，
任設(shè)，，    ..2分
，
∵函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，∴恒有，..........3分
∴恒有，即恒有，           .4分
當(dāng)時，，∴，∴，即實(shí)數(shù)的取值范圍是    ..6分
（2）當(dāng)時，
對任意有恒成立等價于在上的最大值與最小值之差        ..7分
當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，
∴，，∴，與題設(shè)矛盾；  ..9分
當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，，∴恒成立，
即有，      ..11分
當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，
∴恒成立，∴；      .13分
當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，
∴，，∴，與題設(shè)矛盾，  .15分
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．            16分