Question

已知函數(shù)f（x）=msinx+

2

cosx，（m＞0）的最大值為2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在[0，π]上的值域；
（Ⅱ）已知△ABC外接圓半徑R=

3

，f（A-

π

4

）+f（B-

π

4

）=4

6

sinAsinB，角A，B所對的邊分別是a，b，求

1

a

+

1

b

的值．

Answer 1

考點：正弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）由題意可得

m2+2

=2，求得m的值，可得f（x）=2sin（x+

π

4

），再利用正弦函數(shù)的定義域和值域、單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）在[0，π]上的值域．
（Ⅱ）利用正弦定理化簡 f（A-

π

4

）+f（B-

π

4

）=4

6

sinAsinB可得2R（a+b）=2

6

ab，根據(jù)△ABC的外接圓半徑為R=

3

，求得

1

a

+

1

b

的值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，f（x）的最大值為

m2+2

=2．
而m＞0，于是m=

2

，f（x）=2sin（x+

π

4

）．
由于函數(shù)在[0，

π

4

]上遞增，在[

π

4

，π]遞減，
故當(dāng)x=

π

4

時，函數(shù)取得最大值為2；當(dāng)x=π時，函數(shù)取得最小值為-

2

，
∴函數(shù)f（x）在[0，π]上的值域為[-

2

，2]．
（Ⅱ）∵f（A-

π

4

）+f（B-

π

4

）=4

6

sinAsinB，由正弦定理，可得2R（a+b）=2

6

ab，
∵△ABC的外接圓半徑為R=

3

，∴a+b=

2

ab，∴

1

a

+

1

b

=

2

．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．