Question

15．下列命題正確的個數(shù)是（　�。�
①“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，則A＞B”的否命題是真命題；
②命題p：x≠2或y≠3，命題q：x+y≠5，則p是q的必要不充分條件；
③存在實數(shù)x₀，使x₀²+x₀+1＜0；
④命題“若m＞1，則x²-2x+m=0有實根”的逆否命題是真命題．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①先寫出該命題的否命題：在三角形ABC中，若sinA≤sinB，則A≤B，所以分這樣幾種情況判斷即可：A，B∈（0，$\frac{π}{2}$]，A∈（0，$\frac{π}{2}$]，B∈（$\frac{π}{2}$，π），A∈（$\frac{π}{2}$，π），B∈（0，$\frac{π}{2}$]；或通過正弦定理判斷；②根據(jù)必要不充分條件的概念即可判斷該命題是否正確；③通過配方判斷即可；④先求出命題的逆否命題，再判斷正誤即可．

解答 解：①該命題的否命題是：在三角形ABC中，若sinA≤sinB，則A≤B；
若A，B∈（0，$\frac{π}{2}$]，∵正弦函數(shù)y=sinx在（0，$\frac{π}{2}$]上是增函數(shù)，∴sinA≤sinB可得到A≤B；
若A∈（0，$\frac{π}{2}$]，B∈（$\frac{π}{2}$，π），sinA＜sinB能得到A＜B；
若A∈（$\frac{π}{2}$，π），B∈（0，$\frac{π}{2}$]，則由sinA≤sinB，
得到sin（π-A）≤sinB，∴π≤A+B，顯然這種情況不存在；
綜上可得sinA≤sinB能得到A≤B，所以該命題正確；
法二：∵$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$，
∴若sinA＞sinB，則a＞b，從而有“A＞B”，所以該命題正確；
②由x≠2，或y≠3，得不到x+y≠5，比如x=1，y=4，x+y=5，∴p不是q的充分條件；
若x+y≠5，則一定有x≠2且y≠3，即能得到x≠2，或y≠3，∴p是q的必要條件；
∴p是q的必要不充分條件，所以該命題正確；
法二：p是q的必要不充分條件?￢q是￢p的必要不充分條件，
而命題p：x≠2或y≠3，￢P：x=2且y=5，命題q：x+y≠5，￢q：x+y=5，
則￢p⇒￢q，而￢q推不出￢p，
故￢q是￢p的必要不充分條件，即p是q的必要不充分條件，
所以該命題正確；
③由x²+x+1=${（x+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$＞0，故不存在實數(shù)x₀，使x₀²+x₀+1＜0；③錯誤；
④命題“若m＞1，則x²-2x+m=0有實根”的逆否命題是：“若x²-2x+m=0沒有實根，則m≤1”，
由△=4-4m≥0，解得：m≤1，故④錯誤；
故①②正確，選：C．

點評 考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，充分條件、必要條件、必要不充分條件的概念，考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及四種命題之間的關(guān)系，是一道中檔題．