Question

如圖，在菱形ABCD中，AB=BD=2，三角形PAD為等邊三角形．將它沿AD折成大小為α（

π

2

＜α＜π）的二面角P-AD-B，連接PC、PB．
（Ⅰ）證明：AD⊥PB；
（Ⅱ）當(dāng)α為何值時，二面角P-CD-A的平面角的正切值大小為2

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間角

分析：（Ⅰ）取AD的中點(diǎn)E，連結(jié)PE，BE，由已知條件推導(dǎo)出AD⊥PE，AD⊥BE，由此能證明AD⊥平面PEB，從而得到AD⊥PB．
（Ⅱ）過點(diǎn)P在平面PEB內(nèi)作BE的垂線，垂足為F，由已知條件得到∠PEB為所折成二面角的平面角α的補(bǔ)角，
∠PEB=π-α，PE=

3

，EF=-

3

cosα，PF=

3

sinα，過F在平面ABD內(nèi)作FG⊥CD，垂足為G，連結(jié)PG，則∠PGF為二面角P-CD-A的平面角，由此能求出結(jié)果．

解答： （Ⅰ）證明：取AD的中點(diǎn)E，連結(jié)PE，BE，
∵△PAD與△ABD為等邊三角形，
∴AD⊥PE，AD⊥BE，PE∩BE=E，
∴AD⊥平面PEB，
∴AD⊥PB．
（Ⅱ）解：過點(diǎn)P在平面PEB內(nèi)作BE的垂線，垂足為F，
由（Ⅰ）知面PEB⊥面ADB，∴PF⊥平面ABD，
由（Ⅰ）知∠PEB為所折成二面角的平面角α的補(bǔ)角，
∠PEB=π-α，
PE=

3

，EF=-

3

cosα，PF=

3

sinα，
過F在平面ABD內(nèi)作FG⊥CD，垂足為G，連結(jié)PG，
則∠PGF為二面角P-CD-A的平面角，
在平面圖形FBCG中，延長BF，CD相交于H，
由題意知FG=

3 + 3 cosα

2

，
∴tan∠PGF=

3 sinα

3 + 3 cosα

=2

3

，
∴sinα-

3

cosα=

3

，
∴sin（α-

π

3

）=

3

2

，
∴α=

2π

3

．

點(diǎn)評：本題考查異面直線垂直的證明，考查角的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．