Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為AB中點(diǎn)．
（1）求直線AD和直線B₁C所成角的大��；
（2）求證：平面EB₁D⊥平面B₁CD．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,異面直線及其所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）建立坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，求出

DA

=（2，0，0），

B1C

=（-2，0，-2），利用向量的夾角公式，即可求直線AD和直線B₁C所成角的大�。�
（2）求出平面EB₁D的法向量，平面B₁CD的法向量，證明其數(shù)量積為0，即可證明結(jié)論．

解答： （1）解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），B₁（2，2，2），
∴

DA

=（2，0，0），

B1C

=（-2，0，-2），
∴cos＜

DA

，

B1C

＞=|

4

2• 4+4

|=

2

2

，
∴直線AD和直線B₁C所成角為45°；
（2）證明：設(shè)平面EB₁D的法向量為

m

=（x，y，z），則
∵E（2，1，0），
∴

EB1

=（0，1，2）．
∵

ED

=（-2，-1，0），
∴

y+2z=0 -2x-y=0

，∴

m

=（1，-2，1）．
同理平面B₁CD的法向量為

n

=（1，0，-1），
∴

m

•

n

=1-1=0，
∴平面EB₁D⊥平面B₁CD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線及其所成的角、平面與平面垂直的判定，考查向量法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確求向量是關(guān)鍵．