Question

已知函數(shù)f（x）=log_a

1+x

x-1

．
（1）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調性；并給予證明．
（2）令函數(shù)g（x）=-ax²+8（x-1）a^f（x）-5，a≥8時，存在最大實數(shù)t，使得x∈（1，t]，-5≤g（x）≤5恒成立，試寫出t與a的關系式，并求出最大實數(shù)t．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質的綜合應用,函數(shù)單調性的判斷與證明,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）令t=

1+x

x-1

=1+

2

x-1

，顯然函數(shù)t在（1，+∞）上的單調遞減，討論當a的范圍，可得函數(shù)f（x）=log_a t在（1，+∞）上的單調性．
（2）由題意可得函數(shù)g（x）=-a(x-

4

a

)2+3+

16

a

的對稱軸為x=

4

a

，且

4

a

∈（0，

1

2

]，故f（x）在（1，t]上是減函數(shù)，故g（t）＜g（x）≤g（1），由g（1）=11-a≤3＜5，結合題意可得g（t）=-5，化簡可得t與a的關系式，再根據(jù) a=

8t+8

t2

≥8，求得t的最大值．

解答： 解：（1）令t=

1+x

x-1

=1+

2

x-1

，顯然函數(shù)t在（1，+∞）上的單調遞減，
故當a＞1時，函數(shù)f（x）=log_a t在（1，+∞）上的單調遞減，
當0＜a＜1時，函數(shù)f（x）=log_a t在（1，+∞）上的單調遞增．
（2）∵f（x）=log_a

1+x

x-1

，∴a^f（x）=

x+1

x-1

，
∴函數(shù)g（x）=-ax²+8（x-1）a^f（x）-5=-ax²+8（x+1）-5=-a(x-

4

a

)2+3+

16

a

的對稱軸為x=

4

a

，
∵a≥8時，∴

4

a

∈（0，

1

2

]，故f（x）在（1，t]上是減函數(shù)，故g（t）＜g（x）≤g（1）．
g（1）=11-a≤3＜5，
∵存在最大實數(shù)t，使得x∈（1，t]，-5≤g（x）≤5恒成立，∴g（t）=-at²+8t+3=-5，
化簡可得 at²-8t-8=0，即 a=

8t+8

t2

．
再根據(jù) a=

8t+8

t2

≥8，求得

1- 5

2

≤t≤

1+ 5

2

，故 tmax=

1+ 5

2

．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質綜合應用，二次函數(shù)的性質，函數(shù)的最值及其幾何意義，屬于中檔題．