如圖1,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD,∠ABC=60°,E是BC的中點(diǎn),如圖2,將△ABE沿AE折起,使面BAE⊥面AECD,連接BC,BD,P是棱BC上的動(dòng)點(diǎn).
(1)求證:AE⊥BD;
(2)若AB=2,當(dāng)
BP
BC
為何值時(shí),二面角P-ED-C的大小為45°.
考點(diǎn):二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系
專題:空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(1)取AE中點(diǎn)O,連結(jié)BO,DO,由已知條件得BO⊥AE,OD⊥AE,由此能證明AE⊥BD.
(2)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,利用向量法能求出當(dāng)
BP
BC
=
3
5
時(shí),二面角P-ED-C的大小為450
解答: (1)證明:取AE中點(diǎn)O,連結(jié)BO,DO,
由題意△ABE,△ADE,△CDE均為正三角形,
∴BO⊥AE,OD⊥AE,
∵BO∩DO=0,∴AE⊥平面BOD,∴AE⊥BD.

(2)∵平面ABE⊥平面AECD,BO⊥AE,
平面ABE∩平面AECD=AE,∴BO⊥平面AECD,
∴BO⊥DO,∵OD⊥AE,
如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,
AB=2,則BO=DO=
3
,B(0,0,
3
),
D(0,
3
,0),E(1,0,0),C(2,
3
,0),
BC
=(2
,
3
,-
3
),
ED
=(-1,
3
,0)
,
EB
=(-1,0,
3
)
,
設(shè)
BP
BC
=m
,
OP
=
OB
+
BP
=
OB
+m
BC
=(0,0,
3
)+m(2,
3
,-
3
)=(2m,
3
m,
3
-
3
m)
,
EP
=(2m-1,
3
m,
3
-
3
m)

設(shè)平面PDE的法向量為
n
=(x,y,z)
,
n
ED
=0
n
EP
=0
,即
-x+
3
y=0
(2m-1)x+
3
my+(
3
-
3
m)z=0
令x=1,則
y=
3
3
z=
1-3m
3
-
3
m

n
=(1,
3
3
,
1-3m
3
-
3
m
)

平面CDE的法向量為
m
=(0,0,1)

| cos<
n
,
m
> =
1-3m
3
-
3
m
 |
12+(
3
3
)
2
+(
1-3m
3
-
3
m
)
2
=cos450=
2
2

2
3
(
1-3m
1-m
)2=
4
3
+
1
3
(
1-3m
1-m
)2
解得m=-1(舍),或m=
3
5

所以當(dāng)
BP
BC
=
3
5
時(shí),二面角P-ED-C的大小為450
點(diǎn)評(píng):本題考查異面直線垂直的證明,考查滿足二面角為45°的兩線段比值的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

拋物線頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)與橢圓
x2
5
+
y2
4
=1的右焦點(diǎn)F重合,過點(diǎn)F斜率為2
2
的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn).
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)求△AOB的面積.

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閱讀下面材料:根據(jù)兩角和與差的正弦公式,有
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ----------①
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ------③
令α+β=A,α-β=B有α=
A+B
2
,β=
A-B
2
代入③得 sinA+sinB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2

(1)利用上述結(jié)論,試求sin15°+sin75°的值.
(2)類比上述推證方法,根據(jù)兩角和與差的余弦公式,證明:cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2

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求證:
32
-
3
是無理數(shù).

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如圖,A地到火車站共有兩條路徑L1和L2,據(jù)統(tǒng)計(jì),通過兩條路徑所用的時(shí)間互不影響,所用時(shí)間落在各個(gè)時(shí)間段內(nèi)的頻率如下表:
時(shí)間(分鐘)10~2020~3030~4040~5050~60
L1的頻率0.10.20.30.20.2
L2的頻率00.10.40.40.1
現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站.
(1)為了盡最大可能在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站,甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑?
(2)如果甲隨機(jī)地選取了一條路徑,求甲在允許的時(shí)間內(nèi)能趕到火車站的概率;
(3)如果甲、乙都是隨機(jī)地選取了一條路徑,求他們?cè)谠试S的時(shí)間內(nèi)至少有一人不能趕到火車站的概率.

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一小孩在某風(fēng)景區(qū)玩耍,不慎將湖邊一只救人的小船纜繩放開,小船被風(fēng)刮跑,其方向與湖岸成θ角(假設(shè)湖岸為直線),其中sinθ=
11
6
,速度為2.5km/h;救生員及時(shí)發(fā)現(xiàn),立即從同一地點(diǎn)開始追趕小船,已知救生員在水中游的速度為2km/h,所以他只有先在岸上追趕一段時(shí)間后,再跳入水中追趕若干時(shí)間.若救生員在岸上以6km/h的速度追趕20分鐘后,跳入水中追趕,試問他能否追上小船?如果能,則還需多少時(shí)間追上小船?如果不能,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}和{bn},其中a1=
1
2
,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n2an(n∈N*),數(shù)列{bn}滿足b1=2,bn+1=2bn
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)是否存在自然數(shù)m,使得對(duì)任意n∈N*,n≥2,有1+
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn-1
m-8
4
恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知命題p:?x∈R,x2-a≥0,命題q:?x∈R,x2+2ax+2-a≤0,命題“p或q”為假,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知sinα=-
1
3
,且α∈(-
π
2
,0),則sin2α=
 

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