（2012•閔行區(qū)一模）設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，已知4Sn=
a
2
n
+2an+1(n∈N*)．
（1）證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
（2）證明：對(duì)任意m、k、p∈N*，m+p=2k，都有
1
Sm
+
1
Sp
≥
2
Sk
；
（3）對(duì)于（2）中的命題，對(duì)一般的各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論，如果不成立，請(qǐng)說明理由．
分析：（1）由所給等式得，當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn-1=
a
2
n-1
+2an-1+1，然后兩式作差得an-an-1=2，由此可判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列，利用通項(xiàng)公式即可求得；
（2）利用等差數(shù)列求和公式表示出
1
Sm
+
1
Sp
-
2
Sk
，再用基本不等式證明該式大于等于0即可；
（3）先用作差法證明Sm+Sp≥2Sk，再用基本不等式證明SmSp≤Sk2，由此即可證明結(jié)論；
解答：解：（1）∵4Sn=
a
2
n
+2an+1，∴當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn-1=
a
2
n-1
+2an-1+1．
兩式相減得4an=
a
2
n
-
a
2
n-1
+2an-2an-1，
∴（an+an-1）（an-an-1-2）=0，
∵an＞0，∴an-an-1=2，
又4S1=
a
2
1
+2a1+1，∴a1=1，
∴{an}是以a1=1為首項(xiàng)，d=2為公差的等差數(shù)列．  
∴an=2n-1；
（2）由（1）知Sn=
(1+2n-1)n
2
=n2，
∴Sm=m2，Sk=k2，Sp=p2，
于是
1
Sm
+
1
Sp
-
2
Sk
=
1
m2
+
1
p2
-
2
k2
=
k2(p2+m2)-2m2p2
m2p2k2

=
(
m+p
2
)2(p2+m2)-2m2p2
m2p2k2
≥
mp×2pm-2m2p2
m2p2k2
=0，
∴
1
Sm
+
1
Sp
≥
2
Sk
；
（3）結(jié)論成立，證明如下：
設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則Sn=na1+
n(n-1)
2
d=
n(a1+an)
2
，
于是Sm+Sp-2Sk=ma1+
m(m-1)
2
d+pa1+
p(p-1)
2
d-[2ka1+k(k-1)d]
=(m+p)a1+
m2+p2-m-p
2
d-(2ka1+k2d-kd)，
將m+p=2k代入得，Sm+Sp-2Sk=
(m-p)2
4
d≥0，
∴Sm+Sp≥2Sk，
又SmSp=
mp(a1+am)(a1+ap)
4
=
mp[
a
2
1
+(am+ap)a1+amap]
4
≤
(
m+p
2
)2[
a
2
1
+2a1ak+(
am+ap
2
)2]
4

=
k2(a12+2a1ak+
a
2
k
)
4
=
k2(a1+ak)2
4
=
S
2
k
，
∴
1
Sm
+
1
Sp
=
Sm+Sp
SmSp
≥
2Sk
S
2
k
=
2
Sk
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的求和公式、通項(xiàng)公式，基本不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析解決問題的能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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（2012•閔行區(qū)一模）設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)及公差均是正整數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，且a1＞1，a4＞6，S3≤12，則a2012=
4024
4024
．

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（2012•閔行區(qū)一模）在一圓周上給定1000個(gè)點(diǎn)．（如圖）取其中一點(diǎn)標(biāo)記上數(shù)1，從這點(diǎn)開始按順時(shí)針方向數(shù)到第二個(gè)點(diǎn)標(biāo)記上數(shù)2，從標(biāo)記上2的點(diǎn)開始按順時(shí)針方向數(shù)到第三個(gè)點(diǎn)標(biāo)記上數(shù)3，繼續(xù)這個(gè)過程直到1，2，3，…，2012都被標(biāo)記到點(diǎn)上，圓周上這些點(diǎn)中有些可能會(huì)標(biāo)記上不止一個(gè)數(shù)，在標(biāo)記上2012的那一點(diǎn)上的所有標(biāo)記的數(shù)中最小的是
12
12
．

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（2012•閔行區(qū)一模）設(shè)x1、x2是關(guān)于x的方程x2+mx+
1+m2
=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么過兩點(diǎn)A(x1，
x
2
1
)，B(x2，
x
2
2
)的直線與圓x2+y2=1的位置關(guān)系是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•閔行區(qū)一模）設(shè)雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a，b＞0)的虛軸長(zhǎng)為2
3
，漸近線方程是y=±
3
x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=kx+m（k，m∈R）與雙曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，且
OA
⊥
OB
．
（1）求雙曲C的方程；
（2）求點(diǎn)P（k，m）的軌跡方程．

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（2012•閔行區(qū)一模）將邊長(zhǎng)分別為1、2、3、…、n、n+1、…（n∈N*）的正方形疊放在一起，形成如圖所示的圖形，由小到大，依次記各陰影部分所在的圖形為第1個(gè)、第2個(gè)、…、第n個(gè)陰影部分圖形．容易知道第1個(gè)陰影部分圖形的周長(zhǎng)為8．設(shè)前n個(gè)陰影部分圖形的周長(zhǎng)的平均值為f（n），記數(shù)列{an}滿足an=
f(n)，當(dāng)n為奇數(shù)
f(an-1) ，當(dāng)n為偶數(shù)
．
（1）求f（n）的表達(dá)式；
（2）寫出a1，a2，a3的值，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）記bn=an+s（s∈R），若不等式
.
bn+1bn+1
bn+2bn
.
＞0有解，求s的取值范圍．

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