Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+2ax+1-a在區(qū)間[0，1]的最大值為2，則a的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：這是一個(gè)動(dòng)函數(shù)、定區(qū)間的二次函數(shù)的最值問(wèn)題，由于二次項(xiàng)系數(shù)為-1，所以函數(shù)f（x）=-x²+2ax+1-a的圖象的開(kāi)口方向是向下的，對(duì)稱軸為x=a，因此需要按對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論．

解答： 解：函數(shù)f（x）=-x²+2ax+1-a的對(duì)稱軸為x=a，圖象開(kāi)口向下，
①當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）=-x²+2ax+1-a在區(qū)間[0，1]是減函數(shù)，
∴f_max（x）=f（0）=1-a，由1-a=2，得a=-1，
②當(dāng)0＜a≤1時(shí)，函數(shù)f（x）=-x²+2ax+1-a在區(qū)間[0，a]是增函數(shù)，在[a，1]上是減函數(shù)，
∴fmax(x)=f(a)=-a2+2a2+1-a=a²-a+1，
由a²-a+1=2，解得a=

1+ 5

2

或a=

1- 5

2

，
∵0＜a≤1，∴兩個(gè)值都不滿足；
 ③當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）=-x²+2ax+1-a在區(qū)間[0，1]是增函數(shù)，
∴fmax（x）=f（1）=-1+2a+1-a=a，
∴a=2
 綜上可知，a=-1或a=2．
 故答案為：a=-1或a=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想．