Question

f（x）=

3

sinx-cosx，求該函數(shù)周期，最大值，及取最大值時(shí)的x的取值集合和它的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的定義域和值域

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用兩角和差的正弦公式化簡函數(shù)的解析式為f（x）=2sin（x-

π

6

），由此可得函數(shù)的周期以及最大值．令2kπ+

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間．

解答： 解：∵f（x）=

3

sinx-cosx=2（

3

2

sinx-

1

2

cosx）=2sin（x-

π

6

），
∴函數(shù)的周期為T=

2π

1

=2π；
函數(shù)的最大值為2，此時(shí)x-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈z，
故函數(shù)取最大值時(shí)的x的取值集合為{x|x=2kπ+

2π

3

，k∈z}．
令2kπ+

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得2kπ+

2π

3

≤x≤2kπ+

5π

3

，k∈z，
故函數(shù)的減區(qū)間為[2kπ+

2π

3

，2kπ+

5π

3

]，k∈z．

點(diǎn)評：本題主要考查兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，屬于中檔題．