Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx-1，
（1）求f（x）的最小正周期及對(duì)稱軸方程；
（2）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若f（

c

2

）=2且c²=ab，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的形狀判斷,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,余弦定理

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（1）利用二倍角的余弦與正弦可將函數(shù)f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx-1轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，利用三角函數(shù)的周期公式即可求得函數(shù)的最小正周期；
（2）由 f（

C

2

）=2sin（C+

π

6

）=2，求出sin（C+

π

6

）=1，可得C的值，再由余弦定理求得a=b，從而判斷三角形為等邊三角形．

解答： 解：（1）∵f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx-1=（1+cos2x）+

3

sin2x-1
=

3

sin2x+cos2x
=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）
=2sin（2x+

π

6

），
∴函數(shù)的周期為：

2π

2

=π．
對(duì)稱軸方程為：2x=kπ+

π

2

，k∈Z．
即：x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z．
（2）∵f（

C

2

）=2sin（C+

π

6

）=2，
∴sin（C+

π

6

）=1．
∵0＜C＜π，∴，

π

6

＜C+

π

6

＜

7π

6

，
∴C+

π

6

=

π

2

，∴C=

π

3

．
∵c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=ab，
整理得 a=b，
∴三角形ABC為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二倍角的余弦與正弦，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查三角函數(shù)的周期及其求法，屬于中檔題．