Question

已知函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，且f（x•y）=f（x）+f（y）對任意的x，y都成立，f（2）=1．
（Ⅰ）求f（1），f（4）的值；
（Ⅱ）求滿足條件f（x）+f（x-3）＞2的x的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）令x=y=1，可求得f（1）的值；再令x=y=2，即可求得f（4）的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（4）=2，于是f（x）+f（x-3）＞2?f[x（x-3）]＞f（4），利用f（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)，可得到相應(yīng)的不等式組，解之即可．

解答： 解：（Ⅰ）令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），f（1）=0，
令x=y=2則f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2；
（Ⅱ）∵f（x）+f（x-3）＞2=f（4），
∴f[x（x-3）]＞f（4），
又∵f（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴

x＞0 x-3＞0 x(x-3)＞4

，解得：x＞4．
∴原不等式的解集為：{x|x＞4}．

點評：本題考查抽象函數(shù)及其性質(zhì)，著重考查賦值法與函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，突出轉(zhuǎn)化思想與解不等式組的能力，屬于中檔題．