Question

過原點(diǎn)的二次函數(shù)y=f（x）的頂點(diǎn)為（-1，-1）
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求h（x）=f（lgx），（x＞0）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若g(x)=

f(x)+k

x2+x+1

，x∈R的值域?yàn)?span id="ivm4hzn" class="MathJye">[

2

3

，2]，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的值域,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，由函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)求得二次項(xiàng)系數(shù)，則函數(shù)解析式可求；
（2）由符合函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）利用判別式法求解函數(shù)g（x）的值域，得到關(guān)于y的不等式后，不等式對(duì)應(yīng)二次方程的根是值域端點(diǎn)值，然后利用根與系數(shù)關(guān)系求解k的值．

解答： 解：（1）∵二次函數(shù)y=f（x）的頂點(diǎn)為（-1，-1），
∴設(shè)二次函數(shù)f（x）=a（x+1）²-1，
又二次函數(shù)經(jīng)過原點(diǎn)，則0=a（0+1）²-1，解得a=1．
∴y=f（x）的解析式為f（x）=（x+1）²-1=x²+2x；
（2）h（x）=f（lgx），
外層函數(shù)y=f（x）在（-∞，-1）上為減函數(shù)，在[-1，+∞）上為增函數(shù)，
由lgx=-1，得：x=

1

10

．
而內(nèi)層函數(shù)y=lgx在（0，+∞）上為增函數(shù)，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知：當(dāng)x∈(0，

1

10

)時(shí)，函數(shù)h（x）=f（lgx）為減函數(shù)，
當(dāng)x∈[

1

10

，+∞)時(shí)，函數(shù)h（x）=f（lgx）為增函數(shù)；
（3）令y=g（x）=

f(x)+k

x2+x+1

=

x2+2x+k

x2+x+1

，得
（y-1）x²+（y-2）x+y-k=0．
由△=（y-2）²-4（y-1）（y-k）=-3y²+4ky+4-4k≥0，得
3y²-4ky-4+4k≤0．
∵g(x)=

f(x)+k

x2+x+1

，x∈R的值域?yàn)?span id="nteuqzc" class="MathJye">[

2

3

，2]，
則

2

3

+2=

4k

3

，解得k=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，訓(xùn)練了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求法，考查了利用判別式法求函數(shù)的值域，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是有一定難度題目．