Question

20．求證：
（Ⅰ）已知a，b，c∈R，求證：a²+b²+c²≥ab+bc+ca
（Ⅱ）若a＞0，b＞0，且a+b=1，求證：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$≥4．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²≥0，展開(kāi)，化簡(jiǎn)，即可得證；
（Ⅱ）運(yùn)用乘1法和基本不等式，即可得證．

解答 證明：（I）由（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²≥0，
即有2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca≥0，
即為a²+b²+c²≥ab+bc+ca；
（II）由a＞0，b＞0，且a+b=1，
可得$\frac{1}{a}+\frac{1}=（\frac{1}{a}+\frac{1}）（a+b）=2+\frac{a}+\frac{a}≥2+2\sqrt{\frac{a}×\frac{a}}$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{1}{2}$，取得等號(hào)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用綜合法，由基本不等式證明，注意滿足的條件：一正二定三等，屬于基礎(chǔ)題．