Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，若a_n+2=2a_n+1-a_n+2，則a_n等于（　　）

• A、

  1

  5

  n³-

  2

  5

  n+

  6

  5

• B、n³-5n²+9n-4
• C、n²-2n+2
• D、2n²-5n+4

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：計(jì)算題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：令b_n=a_n+1-a_n，根據(jù)a_n+2=2a_n+1-a_n+2，a₁=1，a₂=2，可得{b_n}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，利用a_n=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1，即可得出結(jié)論．

解答： 解：令b_n=a_n+1-a_n，則
∵a_n+2=2a_n+1-a_n+2，
∴b_n+1-b_n=2，
∵a₁=1，a₂=2，
∴b₁=a₂-a₁=1，
∴{b_n}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
∴b_n=2n-1，
∴a_n=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1=1+

(n-1)(1+2n-3)

2

=n²-2n+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的證明，考查疊加法的運(yùn)用，構(gòu)造新數(shù)列，證明數(shù)列為等差數(shù)列是關(guān)鍵．