Question

過雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）左焦點F且垂直于雙曲線一漸近線的直線與雙曲線的右支交于點P，O為原點，若|OF|=|OP|，則C的離心率為（　　）

• A、

  5

• B、2
• C、

  3

• D、3

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設雙曲線的一條漸近線為l：y=-

b

a

x，設P（x₀，y₀），過F作垂直l的直線FP，以及|OF|=|OP|，得到x₀，y₀的值，再由點P為雙曲線的右支上的點，即可算出該雙曲線的離心率．

解答： 解：設雙曲線的一條漸近線為l：y=-

b

a

x，設P（x₀，y₀），
過F（-c，0）作垂直l的直線FP，如圖所示，
則FP的直線方程為：y-0=

a

b

[x-（-c）]，
故y₀=

a

b

（x₀+c） ①，
由于|OF|=|OP|，則FP的中點在直線l：y=-

b

a

x上，
則

y0

2

=-

b

a

•

x0-c

2

②，
聯(lián)立①②解得x₀=

b2-a2

c

，y₀=

2ab

c

，
又由

x02

a2

-

y02

b2

=1，則

( b2-a2 c )2

a2

-

( 2ab c )2

b2

=1
整理得到c²-5a²=0，
由此可得雙曲線的離心率為e=

c

a

=

5

，
故選：A

點評：本題著重考查了雙曲線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．