Question

已知曲線C：f（x）=2xe^ax-ax²-1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在（0，f（0））處的切線；
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時(shí)，求曲線C與直線y=2x-1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（Ⅲ）若a＞0，求證：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，求出切點(diǎn)，和切線的斜率，寫出切線方程；
（Ⅱ）寫出a=-1的函數(shù)式，曲線C與直線y=2x-1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程x（2e^-x+x-2）=0的解的個(gè)數(shù)相同，構(gòu)造函數(shù)g（x）=2e^-x+x-2，求出導(dǎo)數(shù)，應(yīng)用單調(diào)性求出極值、最值，應(yīng)用零點(diǎn)存在定理即可判斷；
（Ⅲ）通過(guò)導(dǎo)數(shù)，判斷a＞0時(shí)的函數(shù)f（x）的單調(diào)性，注意應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可證明．

解答： 解：（Ⅰ）f（0）=-1，
∵f′（x）=（2ax+2）e^ax-2ax，
∴f′（0）=2，
∴函數(shù)f（x）在（0，f（0））處的切線為y=2x-1．

（Ⅱ）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=2xe^-x+x²-1，
曲線C與直線y=2x-1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程x（2e^-x+x-2）=0的解的個(gè)數(shù)相同，
x=0顯然是該方程的一個(gè)解．
令g（x）=2e^-x+x-2，則g′（x）=-2e^-x+1，
由g'（x）=0得x=ln2
∵x＜ln2時(shí)，g′（x）＜0；
x＞ln2時(shí)，g′（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增．
∴g（x）最小值為g（ln2）=ln2-1，
∵ln2＜lne=1，
∴g（ln2）＜0，
∵g（0）=0，g（2）=2e^-2＞0，
∴g（x）的零點(diǎn)一個(gè)是0，一個(gè)大于ln2，
∴兩曲線有兩個(gè)交點(diǎn)．

（Ⅲ）證明：f′（x）=2[（ax+1）e^ax-ax]
∵a＞0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，ax＞0，
∴ax+1＞1，e^ax＞1，
∴f′（x）=2[（ax+1）e^ax-ax]＞2[（ax+1）-ax]=2＞0，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用：求切線方程，求單調(diào)區(qū)間，求極值和最值，通過(guò)單調(diào)性證明，是一道中檔題．