Question

20．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對于函數(shù)f（x）=asinx+bcosx，稱向量$\overrightarrow{OM}=（a，b）$為函數(shù)f（x）的親密向量，同時(shí)稱函數(shù)f（x）為向量$\overrightarrow{OM}$的親密函數(shù)．
（1）設(shè)函數(shù)g（x）=cos（2π-x）+2sin（π-x），試求g（x）的親密向量$\overrightarrow{OM}$的模；
（2）若$\overrightarrow a=（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，$\overrightarrow{ON}$與$\overrightarrow a$同向共線，|$\overrightarrow{ON}$|=2，記$\overrightarrow{ON}$的親密函數(shù)為h（x），求使得關(guān)于x的方程h（x）-t=0在$[0，\frac{π}{2}]$內(nèi)恒有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根的實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡函數(shù)g（x）的解析式，可得g（x）的親密向量$\overrightarrow{OM}$，可得該向量的模．
（2）先由條件求得$\overrightarrow{ON}$=（1，$\sqrt{3}$），可得$\overrightarrow{ON}$的親密函數(shù)為h（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）．由題意可得函數(shù)y=h（x）的圖象和直線y=t在$[0，\frac{π}{2}]$內(nèi)恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)g（x）=cos（2π-x）+2sin（π-x）
=cosx+2sinx，
∴g（x）的親密向量為$\overrightarrow{OM}$=（1，2），
故g（x）的親密向量$\overrightarrow{OM}$的模為 $\sqrt{{1}^{2}{+2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
（2）設(shè)$\overrightarrow{ON}$=λ•（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=（$\frac{λ}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$λ），
則|$\overrightarrow{ON}$|=$\sqrt{\frac{{λ}^{2}}{4}+\frac{3}{4}{•λ}^{2}}$=λ=2，
即$\overrightarrow{ON}$=（1，$\sqrt{3}$）．
故$\overrightarrow{ON}$的親密函數(shù)為h（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
關(guān)于x的方程h（x）-t=0在$[0，\frac{π}{2}]$內(nèi)恒有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，
即函數(shù)y=h（x）的圖象和直線y=t在$[0，\frac{π}{2}]$內(nèi)恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
如圖所示：∴t∈[$\sqrt{3}$，2）．

點(diǎn)評 本題主要考查新定義，正弦和函數(shù)的圖象特征，方程根的存在性以及個(gè)數(shù)判斷，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．