Question

如圖，O為正方形ABCD的中心，四邊形ODEF是平行四邊形，且平面ODEF⊥平面ABCD，AD=2，DE=

2

．
（Ⅰ）證明：DF⊥平面ACE；
（Ⅱ）線段EC上是否存在一點M，使得AE∥平面BDM？若存在，求出EM：MC的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出△ADC為等腰三角形，AC⊥OD，AC⊥平面ODEF，AC⊥FD，△ODE為等腰三角形，由此能證明FD⊥平面ACE．
（Ⅱ）存在線段EC的中點M，使AE∥平面BDM．此時EM：MC的值為1．

解答： （Ⅰ）證明：∵平面ABCD是正方形
∴△ADC為等腰三角形，
中線OD為底邊AC的高，
∴AC⊥OD，
且OD=

AD

2

=

2

2

=

2

，
又∵平面ODEF⊥平面ABCD，平面ODEF∩平面ABCD=OD，
∴AC⊥平面ODEF，
∴AC⊥FD，
∵平行四邊形ODEF，
∴FD經(jīng)過OE的中點
又∵DE=

2

=OD，
∴△ODE為等腰三角形，
中線FD為底邊OE的高，∴FD⊥OE，
∴在平面ACE中FD⊥AC，F(xiàn)D⊥OE，且 AC∩OE=O，
∴FD⊥平面ACE．
（Ⅱ）解：存在線段EC的中點M，使AE∥平面BDM．
∵M是線段EC的中點，O為AC的中點，
∴EA=OM，
∵OM?平面BDM，EA不包含平面BDM，
∴AE∥平面BDM，
此時EM：MC的值為1．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．