Question

已知函數(shù)f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x-1，x∈R
（1）求f（x）的最值和最小正周期；
（2）若h（x）=f（x+t）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-

π

6

，0）對稱，且t∈（0，π），求t的值；
（3）設(shè)p：x∈[

π

4

，

π

2

]，q：|f（x）-m|＜3，若p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期性及其求法,必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角函數(shù)的公式將函數(shù)f（x）進(jìn)行化簡，即可求f（x）的最值和最小正周期；
（2）求出h（x）的表達(dá)式，利用圖象關(guān)于點(diǎn)（-

π

6

，0）對稱，建立條件關(guān)系即可求t的值；
（3）求出當(dāng)x∈[

π

4

，

π

2

]，函數(shù)f（x）的值域，利用p是q的充分條件，即可求出m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x-1=-cos2（x+

π

4

）-

3

cos2x=sin2x-

3

cos2x=2sin（2x-

π

3

）．
則函數(shù)的最大值為2，最小值為-2，
函數(shù)的周期T=

2π

2

=π．
（2）∵f（x）=2sin（2x-

π

3

），
∴h（x）=f（x+t）=2sin（2x+2t-

π

3

），
∵h(yuǎn)（x）=f（x+t）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-

π

6

，0）對稱
∴h（-

π

6

）=2sin(-

π

6

×2+2t-

π

3

)=2sin(2t-

2π

3

)=0，
即2t-

2π

3

=0+kπ，
∴t=

π

3

+

kπ

2

，
∵t∈（0，π），
∴當(dāng)k=0時，t=

π

3

，
當(dāng)k=1時，t=

5π

6

．
（3）∵|f（x）-m|＜3，
∴：-3＜f（x）-m＜3，
即m-3＜f（x）＜m+3，
當(dāng)x∈[

π

4

，

π

2

]，2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，此時2sin（2x-

π

3

）∈[1，2]，
即f（x）∈[1，2]，
要使p是q的充分條件，
則

m-3≤1 m+3≥2

，
即

m≤4 m≥-1

，
∴-1≤m≤4，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-1，4]．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要求熟練掌握三角函數(shù)的周期，對稱性和最值的性質(zhì)，涉及的知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．