Question

14．在三棱錐S-ABC中，∠ASB=∠BSC=60°，∠ASC=90°，且SA=SB=SC，求證：平面ASC⊥平面ABC．

Answer 1

分析 令SA=SB=SC=a，結(jié)合條件，求得AB=BC=a，AC=$\sqrt{2}$a，有勾股定理的逆定理，可得△ABC為直角三角形，取AB的中點(diǎn)O，連接SO，BO，由線面垂直的判定定理，可得SO⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理，即可得證．

解答 證明：令SA=SB=SC=a，
由∠ASB=∠BSC=60°，∠ASC=90°，
即有AB=BC=a，AC=$\sqrt{2}$a，
則△ABC為直角三角形，且∠ABC=90°，
取AB的中點(diǎn)O，連接SO，BO，
由SA=SB，可得SO⊥AC，
由SB=a，OB=SO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，即有SO⊥OB，
由OB∩AC=O，
可得SO⊥平面ABC，
由SO?平面SAC，
則平面SAC⊥平面ABC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的判定定理的運(yùn)用，考查空間線面的位置關(guān)系，屬于中檔題．