Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

λsinωx+

3

2

λcosωx(λ＞0，ω＞0)的部分圖象如圖所示，其中點(diǎn)為最高點(diǎn)，點(diǎn)為圖象與軸的交點(diǎn)，在△ABC中，角A，B，C對(duì)邊為a，b，c，b=c=

3

，且滿足(2c-

3

a)cosB-

3

bcosA=0．
（Ⅰ）求△ABC的面積；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由(2c-

3

a)cosB-

3

bcosA=0，以及正弦定理可得：B的余弦函數(shù)值，求出B，A，C．然后求出函數(shù)的最大值以及函數(shù)的周期，即可求出函數(shù)的表達(dá)式，求出三角形的面積．
（Ⅱ）利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求出函數(shù)的增區(qū)間即可．

解答： 解：（Ⅰ）由(2c-

3

a)cosB-

3

bcosA=0，
以及正弦定理可得：2cosBsinC-

3

sinAcosB-

3

cosAsinB=0，
可得2cosB-

3

=0，
∵B是三角形內(nèi)角，
∴B=

π

6

，
∵b=c=

3

，
∴C=

π

6

，A=

2π

3

，

1

2

BC=bcos

π

6

=

3

×

3

2

，BC=3，
S△ABC=

1

2

BC•csinB=

1

2

×

3

×3×sin

π

6

=

3 3

4

．
（Ⅱ）由f(x)=

1

2

λsinωx+

3

2

λcosωx=λsin(ωx+

π

3

)，
由（Ⅰ）可知：T=6，A=ABsin

π

6

=

3

2

，
∴λ=

3

2

，ω=

2π

T

=

π

3

，
∴f（x）=

3

2

sin（

π

3

x+

π

3

）．
令2kπ-

π

2

≤

π

3

x+

π

3

≤2kπ+

π

2

⇒6k-

5

2

≤x≤6k+

1

2

．k∈Z．
∴函數(shù)y=

3

2

sin（

π

3

x+

π

3

）．
的單調(diào)遞增區(qū)間：[6k-

5

2

，6k+

1

2

]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換及正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．