Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n．
（1）請寫出數(shù)列{a_n}的前n項和S_n公式，并推導(dǎo)其公式；
（2）若a_n=n，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

的和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的前n項和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）等差數(shù)列的前n項和公式為Sn=

n(a1+an)

2

，利用倒序相加法進行證明．
（2）由已知條件推導(dǎo)出

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），由此利用裂項求和法能求出

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

．

解答： 解：（1）Sn=

n(a1+an)

2

或Sn=na1+

n(n-1)

2

d．（注：只要寫對其中一個公式即可）（2分）
證明：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵S_n=a₁+a₂+…+a_n，…（3分）
∴S_n=a₁+（a₁+d）+（a₁+2d）+…+[a₁+（n-1）d]，①…（4分）
S_n=a_n+（a_n-d）+（a_n-2d）+…+[a_n-（n-1）d]，②…（5分）
由①+②得：2S_n=

(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)

n個(a1+an)

…（6分）
=n（a₁+a_n）．…（7分）
所以Sn=

n(a1+an)

2

．…（8分）
（注：由于推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和S_n公式的方法比較多，其它方法按相應(yīng)的步驟給分）
（2）∵a_n=n，∴a₁=1，Sn=1+2+…+n=

n(n+1)

2

，…（9分）
∴

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），…（10分）
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]…（11分）
=2（1-

1

n+1

）
=

2n

n+1

．…（12分）

點評：本題考查等差數(shù)列前n項和的證明，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要注意倒序相加法和裂項求和法的合理運用．