Question

某班研究性學(xué)習(xí)小組在今年11月11日“雙11購物節(jié)”期間，對(duì)[25，55）歲的人群隨機(jī)抽取了1000人進(jìn)行了一次是否參加“搶購商品”的調(diào)查，得到如下統(tǒng)計(jì)表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖．

組數(shù)	分組	搶購商品 的人數(shù)	占本組 的頻率
第一組	[25，30）	120	0.6
第二組	[30，35）	195	p
第三組	[35，40）	100	0.5
第四組	[40，45）	a	0.4
第五組	[45，50）	30	0.3
第六組	[50，55]	15	0.3

（Ⅰ）求統(tǒng)計(jì)表中a，p的值；
（Ⅱ）從年齡在[40，50）歲參加“搶購商品”的人群中，采用分層抽樣法抽取9人參滿意度調(diào)查，其中3人感到滿意，記感到滿意的3人中年齡在[40，50）歲的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出年齡在[40，45）的人數(shù)為150人，由此能求出a和p的值．
（Ⅱ）由題設(shè)知X=0，1，2，3，分別求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），由此能求出X的分布列和E（X）．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)榭側(cè)藬?shù)為1000人，
所以年齡在[40，45）的人數(shù)為1000×5×0.03=150人，
所以 a=150×0.4=60，
因?yàn)槟挲g在[30，35）的人數(shù)的頻率為1-5×（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）=0.3，
所以年齡在[30，35）的人數(shù)為1000×0.3=300人，
所以p=

195

300

=0.65．…（6分）
（Ⅱ）依題抽取年齡在[40，45）之間6人，抽取年齡在[45，50）之間3人，
X=0，1，2，3，
P（X=0）=

C 3 3

C 3 9

=

1

84

，P（X=1）=

C 1 6 C 2 3

C 3 9

=

18

84

，
P（X=2）=

C 2 6 C 1 3

C 3 9

=

45

84

，P（X=3）=

C 3 6

C 3 9

=

20

84

，
所以X的分布列為

X	0	1	2	3
P	1 84	18 84	45 84	20 84

所以E（X）=0×

1

84

+1×

18

84

+2×

45

84

+3×

20

84

=2．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．