四棱錐P-ABCD的底面為棱形，且∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，AB=2a，PA=2
3
a，E為PC的中點(diǎn)．
（1）求直線DE與平面PAC所成角的大��；
（2）求二面角E-AD-C的余弦值．
考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面所成的角
專題：空間角
分析：（1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，ABCD平面內(nèi)垂直過點(diǎn)A且垂直AB的直線為y軸，AP為z軸，建立空直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線DE與平面PAC所成角的大�。�
（2）分別求出平面EAD的法向量和平面ADC的法向量，利用向量法能求出二面角E-AD-C的余弦值．
解答： 解：（1）如圖，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，
ABCD平面內(nèi)垂直過點(diǎn)A且垂直AB的直線為y軸，AP為z軸，
建立空直角坐標(biāo)系，
∵四棱錐P-ABCD的底面為棱形，且∠DAB=60°，
PA⊥底面ABCD，AB=2a，PA=2
3
a，E為PC的中點(diǎn)，
∴D（a，
3
a，0），P（0，0，2
3
a），C（3a，
3
a，0），
E（
3
2
a，
3
2
a，
3
a），A（0，0，0），
∴
DE
=(
a
2
，-
3
a
2
，
3
a)，
AP
=（0，0，2
3
a），
AC
=（3a，
3
a，0），
設(shè)平面PAC的法向量
n
=（x，y，z），
則
n
•
AP
=2
3
az=0
n
•
AC
=3ax+
3
ay=0
，取y=
3
，得
n
=（-1，
3
，0），
設(shè)直線DE與平面PAC所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜
n
，
DE
＞|=|
-
a
2
-
3a
2
+0
2•
4a2
|=
1
2
，
∴直線DE與平面PAC所成角的大小為30°．
（2）∵D（a，
3
a，0），E（
3
2
a，
3
2
a，
3
a），A（0，0，0），
∴
AD
=（a，
3
a，0），
AE
=（
3
2
a，
3
2
a，
3
a），
設(shè)平面EAD的法向量
m
=(x1，y1，z1)，
則
m
•
AD
=ax1+
3
ay1=0
m
•
AE
=
3
2
ax1+
3
2
ay1+
3
az1=0
，
取y1=
3
，得
m
=（-3，
3
，
2
3
3
），
平面ADC的法向量
p
=(0，0，1)，
設(shè)二面角E-AD-C的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜
m
，
p
＞|=|
2
3
3
40
3
|=
10
10
．
∴二面角E-AD-C的余弦值為
10
10
．
點(diǎn)評：本題考查直線與平面所成角的大小的求法，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，△OAB是邊長為2的正三角形，記△OAB位于直線x=t（0＜t≤2）左側(cè)的圖形的面積為f（t），則
（Ⅰ）函數(shù)f（t）的解析式為
 
；
（Ⅱ）函數(shù)y=f（t）的圖象與直線t=2、t軸圍成的圖形面積為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

集合M={x|x=1+a2，a∈N*}，P={y|y=x2-4x+5，x∈N*}，下列關(guān)系中正確的是（　�。�
A、M?PB、P?M
C、M=PD、M?P且P?M

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知sinα=
1
3
，則cos2（
α
2
+
π
4
）=（　�。�
A、
1
6
B、
2
3
C、
1
3
D、
1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知復(fù)數(shù)z=
i2
1+i
（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（　�。�
A、第一象限B、第二象限
C、第三象限D、第四象限

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是拋物線x2=2py（p＞0﹚上的三點(diǎn)，F(xiàn)是其焦點(diǎn)，且x12、x22、x32成等差數(shù)列．求證：|AF|、|BF|、|CF|也成等差數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓
x2
a2
+y2=1（a＞1）的離心率為
3
2
，過點(diǎn)Q（1，0）任作一條弦交橢圓于C、D兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)P為直線x=4上任意一點(diǎn)，kPC，kPQ，kPD分別為直線PC，PQ，PD的斜率．是否存在實(shí)數(shù)λ，使kPC+kPD=λkPQ恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某品牌電視機(jī)代理銷售商根據(jù)近年銷售和利潤情況得出某種型號電視機(jī)的利潤情況有如下規(guī)律：每臺電視機(jī)的最終銷售利潤與其無故障使用時(shí)間T（單位：年）有關(guān)．若T≤1，則每臺銷售利潤為0元；若1＜T≤3，則每臺銷售利潤為100元；若T＞3，則每臺銷售利潤為200元．設(shè)每臺該種電視機(jī)的無故障使用時(shí)間T≤1，1＜T≤3，T＞3這三種情況發(fā)生的概率分別為P1，P2，P3，又知P1，P2是方程10x2-6x+a=0的兩個(gè)根，且P2=P3．
（Ⅰ）求P1，P2，P3的值；
（Ⅱ）記ξ表示銷售兩臺這種電視機(jī)的銷售利潤總和，寫出ξ的所有結(jié)果，并求ξ的分布列；
（Ⅲ）求銷售兩臺這種型號電視機(jī)的銷售利潤總和的期望值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)A1（0，
2
），B1（
6
，0），M（2，1），直線l：x=
4
3
6
，若曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)B1的距離等于P到直線l的距離的a倍且曲線C過點(diǎn)A1．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)平行于OM（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的直線l1在y軸上的截距為m（m≠0），且l1交曲線C于兩點(diǎn)A、B．
（ⅰ）求證：直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形；
（ⅱ）若點(diǎn)A、B均位于y軸的右側(cè)，求直線MA的斜率k1的取值范圍．

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同步練習(xí)冊答案