Question

四棱錐P-ABCD的底面為棱形，且∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，AB=2a，PA=2

3

a，E為PC的中點．
（1）求直線DE與平面PAC所成角的大��；
（2）求二面角E-AD-C的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：（1）以A為原點，AB為x軸，ABCD平面內(nèi)垂直過點A且垂直AB的直線為y軸，AP為z軸，建立空直角坐標系，利用向量法能求出直線DE與平面PAC所成角的大�。�
（2）分別求出平面EAD的法向量和平面ADC的法向量，利用向量法能求出二面角E-AD-C的余弦值．

解答： 解：（1）如圖，以A為原點，AB為x軸，
ABCD平面內(nèi)垂直過點A且垂直AB的直線為y軸，AP為z軸，
建立空直角坐標系，
∵四棱錐P-ABCD的底面為棱形，且∠DAB=60°，
PA⊥底面ABCD，AB=2a，PA=2

3

a，E為PC的中點，
∴D（a，

3

a，0），P（0，0，2

3

a），C（3a，

3

a，0），
E（

3

2

a，

3

2

a，

3

a），A（0，0，0），
∴

DE

=(

a

2

，-

3 a

2

，

3

a)，

AP

=（0，0，2

3

a），

AC

=（3a，

3

a，0），
設(shè)平面PAC的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • AP =2 3 az=0 n • AC =3ax+ 3 ay=0

，取y=

3

，得

n

=（-1，

3

，0），
設(shè)直線DE與平面PAC所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜

n

，

DE

＞|=|

- a 2 - 3a 2 +0

2• 4a2

|=

1

2

，
∴直線DE與平面PAC所成角的大小為30°．
（2）∵D（a，

3

a，0），E（

3

2

a，

3

2

a，

3

a），A（0，0，0），
∴

AD

=（a，

3

a，0），

AE

=（

3

2

a，

3

2

a，

3

a），
設(shè)平面EAD的法向量

m

=(x1，y1，z1)，
則

m • AD =ax1+ 3 ay1=0 m • AE = 3 2 ax1+ 3 2 ay1+ 3 az1=0

，
取y₁=

3

，得

m

=（-3，

3

，

2 3

3

），
平面ADC的法向量

p

=(0，0，1)，
設(shè)二面角E-AD-C的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

m

，

p

＞|=|

2 3 3

40 3

|=

10

10

．
∴二面角E-AD-C的余弦值為

10

10

．

點評：本題考查直線與平面所成角的大小的求法，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．