Question

設(shè)橢圓

x2

a2

+y²=1（a＞1）的離心率為

3

2

，過點Q（1，0）任作一條弦交橢圓于C、D兩點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)P為直線x=4上任意一點，k_PC，k_PQ，k_PD分別為直線PC，PQ，PD的斜率．是否存在實數(shù)λ，使k_PC+k_PD=λk_PQ恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓

x2

a2

+y²=1（a＞1）的離心率為

3

2

，求出a，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點Q（1，0）的直線方程為x=my+1，代入橢圓方程，整理，利用韋達定理，設(shè)點P（4，n），計算出k_PC+k_PD，k_PQ，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）依題意，∵橢圓

x2

a2

+y²=1（a＞1）的離心率為

3

2

，
∴

a2-1

a

=

3

2

，∴a=2
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)過點Q（1，0）的直線方程為x=my+1，…（5分）
代入橢圓方程，整理得（m²+4）y²+2my-3=0…（6分）
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則y₁+y₂=-

2m

m2+4

，y₁y₂=-

3

m2+4

，…（7分）
設(shè)點P（4，n），
則k_PC+k_PD=

n-y1

4-x1

+

n-y2

4-x2

=

6n-(mn+3)(y1+y2)+2my1y2

9-3m(y1+y2)+m2y1y2

=

8n(m2+3)

12(m2+3)

=

2n

3

 …（10分）
又∵k_PQ=

n-0

4-1

-

1

3

n，…（11分）
∴存在λ=2，使k_PC+k_PD=2k_PQ恒成立．…（12分）

點評：本題主要考查橢圓的有關(guān)計算、性質(zhì)以及探究性問題的解法，考查運算求解能力及數(shù)形結(jié)合和化歸與轉(zhuǎn)化思想．