Question

設(shè)向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（sinx，

3

sinx），x∈R，函數(shù)f（x）=

a

•（

a

+2

b

）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求使不等式f′（x）≥2成立的x的取值集合．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用數(shù)量積運(yùn)算法則、倍角公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

a

•（

a

+2

b

）=

a

2+2

a

•

b

=sin2x+cos2x+2(sin2x+

3

sinxcosx)
=1+1-cos2x+

3

sin2x
=2(

3

2

sin2x-

1

2

cos2x)+2
=2sin(2x-

π

6

)+2．
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，
解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

(k∈Z)，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

](k∈Z)．
（2）由f（x）=2sin(2x-

π

6

)+2，得f′(x)=4cos(2x-

π

6

)．
由f′（x）≥2，得cos(2x-

π

6

)≥

1

2

，
則2k-

π

3

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

3

，
即kπ-

π

12

≤x≤kπ+

π

4

（k∈Z）．
∴使不等式f′（x）≥2成立的x的取值集合為{x|kπ-

π

12

≤x≤kπ+

π

4

，k∈Z}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算法則、倍角公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．