Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱與底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=2，M，N分別是A₁B₁，AC₁的中點．
（1）求證：MN∥平面BCC₁B₁；
（2）求證：平面MAC₁⊥平面ABC₁．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）欲證MN||平面BCC₁B₁，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證MN與平面BCC₁B₁內(nèi)一直線平行即可，而連接BC₁，AC₁．根據(jù)中位線定理可知MN||BC₁，又MN?平面BCC₁B₁滿足定理所需條件；
（2）證明MN⊥BC₁，MN⊥AC₁，即可證明MN⊥平面ABC₁，從而證明平面MAC₁⊥平面ABC₁．

解答： 證明：（1）連接BC₁，AC₁．
在△ABC₁中，∵M(jìn)，N是AB，A₁C的中點，∴MN∥BC₁．
又∵M(jìn)N?平面BCC₁B₁，∴MN∥平面BCC₁B₁．
（2）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱與底面垂直，
∴四邊形BCC₁B₁是正方形，
∴BC₁⊥B₁C，
∴MN⊥BC₁，
連接AM，C₁M，則△AMA₁≌△B₁MC₁，
∴AM=C₁M，
∵N是AC₁的中點，
∴MN⊥AC₁，
∵AC₁∩BC₁=C₁，
∴MN⊥平面ABC₁，
∵M(jìn)N?平面MAC₁，
∴平面MAC₁⊥平面ABC₁．

點評：判斷或證明線面平行的常用方法有：①利用線面平行的定義（無公共點）；②利用線面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性質(zhì)定理（α∥β，a?α⇒a∥β）；④利用面面平行的性質(zhì)（α∥β，a?α，a?，a∥α⇒a∥β）．