Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-x²-3ax+b．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處與直線y=8相切，求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到方程組，解出a，b的值即可，（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分別討論①若△=4+36a≤0，②若△=4+36a＞0的情況，從而得出答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x²-2x-3a
因?yàn)榍�線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處與直線y=8相切，
∵

f/(2)=0 f(2)=8

，
即

8-3a=0 8-4-6a+b=8

，
解得a=

8

3

，b=20；
（Ⅱ）∵f′（x）=3x²-2x-3a
若△=4+36a≤0，即a≤-

1

9

，f′（x）≥0，
函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；
若△=4+36a＞0，即a＞-

1

9

，
此時(shí)f′（x）=0的兩個(gè)根為x=

1± 1+9a

3

當(dāng)x∈(-∞，

1- 1+9a

3

)或x∈(

1+ 1+9a

3

，+∞)時(shí)，
f′（x）＞0
當(dāng)x∈(

1- 1+9a

3

，

1+ 1+9a

3

)時(shí)，
f′（x）＜0；
故a＞-

1

9

時(shí)，
單增區(qū)間為當(dāng)(-∞，

1- 1+9a

3

)，(

1+ 1+9a

3

，+∞)
單減區(qū)間為(

1- 1+9a

3

，

1+ 1+9a

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，曲線的切線方程，滲透了分類(lèi)討論思想，是一道中檔題．