Question

等比數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₄=16，
（1）若a₃，a₅分別是等差數(shù)列{b_n}的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=a_n+b_n，求{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知求出等比數(shù)列的公比，進(jìn)一步求出a₃，a₅，即等差數(shù)列{b_n}的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，再求出等差數(shù)列的公差，然后代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）由（1）求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入c_n=a_n+b_n，然后分別利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和得
{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）在等比數(shù)列{a_n}中，由a₁=2，a₄=16，
得q3=

a4

a1

=

16

2

=8，q=2．
∴a3=a1q2=8，a5=a1q4=32，
即b₃=8，b₅=32．
∵數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，
∴d=

b5-b3

5-3

=

32-8

2

=12．
則b_n=b₃+（n-3）d=8+12（n-3）=12n-28；
（2）由（1）得，an=2n，b_n=12n-28．
∴c_n=a_n+b_n=2ⁿ+12n-28．
∴{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）
=（2+2²+…+2ⁿ）+（-16-4+8+…+12n-28）
=

2(1-2n)

1-2

+[-16n+

12n(n-1)

2

]=2ⁿ⁺¹+6n²-22n-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．