Question

【題目】對(duì)于無(wú)窮數(shù)列，若正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有，則稱為“不減數(shù)列”.

(1)設(shè)，均為正整數(shù)，且，甲:為“不減數(shù)列”，乙:為“不減數(shù)列”.試判斷命題:“甲是乙的充分條件”的真假，并說(shuō)明理由;

(2)已知函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，數(shù)列滿足，，如果為“不減數(shù)列”，試求的最小值;

(3)對(duì)于（2）中的，設(shè)，且.是否存在實(shí)數(shù)使得為“不減數(shù)列”?若存在，求出的取值范圍;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1)假，理由見(jiàn)解析;(2)2;(3)

【解析】

(1)根據(jù)“不減數(shù)列”定義直接判斷充要關(guān)系，即得結(jié)果;

(2)先求，再探求的最小值，最后利用作差法證明；

(3)先結(jié)合（2）化簡(jiǎn)，，再根據(jù)新定義得不等式，并參變分離，根據(jù)奇偶性分類討論，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性求最值，即得結(jié)果.

(1)對(duì)于甲:為“不減數(shù)列”，

對(duì)于乙:為“不減數(shù)列”，

∵設(shè)，均為正整數(shù)，且，

∴乙甲，顯然甲乙，

因此，甲是乙的必要條件，從而“甲是乙的充分條件”是假命題.

(2)∵函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，

∴函數(shù)為函數(shù)的反函數(shù)，且.

由，得.

由得，

假設(shè)，則，

即當(dāng)時(shí)，.

于是，即.

亦即:數(shù)列，且，

因此，的最小值為2.

(3)假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得為“不減數(shù)列”.

∵，∴是單調(diào)遞增數(shù)列.

∵，且，

∴，

又，故當(dāng)時(shí)，

，即.

若為大于或等于4的偶數(shù)，則有恒成立，

注意到數(shù)列關(guān)于遞減，

所以，，即;

若為大于或等于3的奇數(shù)，則有恒成立，

注意到數(shù)列關(guān)于遞增，

所以，，即;

又當(dāng)時(shí)，

由，得.

綜上所述，存在實(shí)數(shù)，且，

使得為“不減數(shù)列”，

即所求的取值范圍是.