Question

5．已知點(diǎn)P是橢圓16x²+25y²=400上一點(diǎn)，且在x軸上方，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線PF₂的斜率為$-2\sqrt{2}$，則△PF₁F₂的面積為8$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求得橢圓的a，b，c，可得右焦點(diǎn)，由直線PF₂的方程：y=-2$\sqrt{2}$（x-3），代入橢圓方程，求得P的坐標(biāo)，注意舍去橫坐標(biāo)大于3的點(diǎn)，再由三角形的面積公式計(jì)算即可得到所求．

解答 解：橢圓16x²+25y²=400即為
$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，即有a=5，b=4，c=3，
右焦點(diǎn)F₂（3，0），
由P在x軸上方，且直線PF₂的斜率為$-2\sqrt{2}$，
可得P的橫坐標(biāo)小于3，
由直線PF₂的方程：y=-2$\sqrt{2}$（x-3），
代入橢圓方程可得，27x²-150x+175=0，
解得x=$\frac{5}{3}$（$\frac{35}{9}$＞3，舍去），
即有P的縱坐標(biāo)為y=-2$\sqrt{2}$（$\frac{5}{3}$-3）=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
則則△PF₁F₂的面積為$\frac{1}{2}$•|F₁F₂|•y_P=3•$\frac{8\sqrt{2}}{3}$=8$\sqrt{2}$．
故答案為：8$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查三角形的面積的求法，注意運(yùn)用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求得交點(diǎn)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．