Question

17．如圖，棱長都相等的平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，∠DAB=∠A′AD=∠A′AB=60°，則二面角A′-BD-A的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． -$\frac{1}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． -$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 判斷四面體A′BDA為正四面體，取BD的中點(diǎn)E，連接AE，A′E，由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，易得∠AEA′即為側(cè)面與底面所成二面角的平面角，解三角形AA′E即可得到正四面體側(cè)面與底面所成二面角的余弦值．

解答 解：棱長都相等的平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，∠DAB=∠A′AD=∠A′AB=60°，則四面體A′BDA為正四面體．
取BD的中點(diǎn)E，連接AE，A′E，設(shè)四面體的棱長為2，則AE=A′E=$\sqrt{3}$
且AE⊥BD，A′E⊥BD，則∠AEA′即為側(cè)面與底面所成二面角的平面角，
在△AA′E中，cos∠AEA′=$\frac{{AE}^{2}+{A′E}^{2}-{A′A}^{2}}{2AE•A′E}$=$\frac{1}{3}$
故正四面體側(cè)面與底面所成二面角的余弦值是：$\frac{1}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，其中確定∠AEA′即為相鄰兩側(cè)面所成二面角的平面角，是解答本題的關(guān)鍵．