Question

已知雙曲線C：x2-

y2

2

=1，過(guò)點(diǎn)P（-1，-2）的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)．
（1）求直線AB的方程；
（2）求弦長(zhǎng)|AB|的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）可先設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），再分別代入雙曲線方程，作差即可求出直線斜率，進(jìn)而可求直線方程．
（2）把（1）中所求直線方程代入雙曲線方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，求x₁，x₂，再利用弦長(zhǎng)公式求線段AB的長(zhǎng)．

解答： 解（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-2，y₁+y₂=-4，
由x12-

y12

2

=1，x22-

y22

2

=1作差得（x₁+x₂）（x₁-x₂）-

1

2

（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=1，
∴直線AB方程為y=x-1．
（2）把y=x-1代入x2-

y2

2

=1，消去y得x²+2x-3=0
∴x₁=1，x₂=-3，從而得|AB|=

1+1

•|x₁-x₂|=4

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)差法求中點(diǎn)弦方程以及弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．