Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax+1（a∈R）．
（Ⅰ）若a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=2^x-1，若存在x₁∈（0，+∞），對于任意x₂∈[0，1]，使f（x₁）≥g（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）a=1時(shí)，求導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，求得切點(diǎn)坐標(biāo)，可求f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）分類討論，利用f（x）_max≥g（x）_max，即可求a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx+ax+1（x＞0），
∴f′（x）=

ax+1

x

                                              …（1分）
當(dāng)a=1時(shí)，f′（1）=2，f（1）=2；
故y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為：y-2=2（x-1），即2x-y=0；     …（4分）
（Ⅱ）當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）＞0，可得0＜x＜-

1

a

；f′（x）＜0，可得0x＞-

1

a

，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，-

1

a

），單調(diào)減區(qū)間為（-

1

a

，+∞）；      …（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x₁）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x₁）＞f（0）=1，
∵g（x）=2^x-1，在[0，1]上單調(diào)遞增，則g（x₂）≤g（1）=1，
因此，當(dāng)a≥0時(shí)，一定符合題意；                                   …（11分）
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，-

1

a

），單調(diào)減區(qū)間為（-

1

a

，+∞），
∴f（x）_max=f（-

1

a

）=ln（-

1

a

）
由題意知，只需滿足f（x）_max≥g（x）_max=g（1）=1，
∴l(xiāng)n（-

1

a

）≥1，
∴-

1

e

≤a＜0
綜上：a≥-

1

e

．                                                 …（14分）

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，正確求導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．