Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c，給出四個(gè)命題：上述四個(gè)命題中所有正確的命題序號是

 

．
①c=0時(shí)，有f（-x）=-f（x）成立；
②b=0，c＞0時(shí)，函數(shù)y=f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)；
③y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，c）對稱；
④函數(shù)y=f（x），至多有兩個(gè)不同零點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將c=0代入，判斷f（-x）=-f（x）是否成立，可判斷①；將b=0代入分析函數(shù)的單調(diào)性及值域，可判斷②；根據(jù)函數(shù)的對稱變換，求出函數(shù)關(guān)于（0，c）對稱后的解析式，與原函數(shù)解析進(jìn)行比較后，可判斷③；舉出反例b=-2，c=0時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，可判斷④

解答： 解：①當(dāng)c=0時(shí)，f（x）=x|x|+bx，f（-x）=-（x|x|+bx）=-f（x），故①正確；
②f（x）=x|x|在R上為增函數(shù)，值域也為R，當(dāng)b=0，c＞0時(shí)，f（x）=x|x|+c在R上遞增，值域也為R，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故②正確；
③由f（x）=x|x|+bx+c關(guān)于（0，c）對稱的函數(shù)解析式為2c-f（-x）=2c-（-x|x|-bx+c）=x|x|+bx+c，故③正確；
④當(dāng)b=-2，c=0時(shí)，f（x）=x|x|-2x有-2，0，2三個(gè)零點(diǎn)，故④錯誤；
故所有正確的命題序號是①②③．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數(shù)的奇偶性，零點(diǎn)，對稱性，熟練掌握函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．