【題目】如圖,棱錐P—ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,BD=.
(1)求證:BD⊥平面PAC;
(2)求二面角P—CD—B余弦值的大;
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)建立空間直角坐標(biāo)系,再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算,證明線線垂直,從而證明線面垂直;
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求平面的法向量,再利用數(shù)量積求向量的夾角即可得解.
解:(1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,
則A(0,0,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2).
在Rt△BAD中,AD=2,BD=,
∴AB=2.∴B(2,0,0)、C(2,2,0),
∴
∵,即BD⊥AP,BD⊥AC,
又AP∩AC=A,
故BD⊥平面PAC.
(2)由(1)得.
設(shè)平面PCD的法向量為,則,
即,∴,故平面PCD的法向量可取為,
∵PA⊥平面ABCD,∴為平面ABCD的法向量.
設(shè)二面角P—CD—B的大小為,依題意可得,
故二面角P—CD—B余弦值的大小為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的最大距離為,離心率為.
求橢圓C的方程;
如圖,過點(diǎn)的動直線l交橢圓C于M,N兩點(diǎn),直線l的斜率為,A為橢圓上的一點(diǎn),直線OA的斜率為,且,B是線段OA延長線上一點(diǎn),且過原點(diǎn)O作以B為圓心,以為半徑的圓B的切線,切點(diǎn)為令,求取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐中,底面是矩形,平面,AB 1,AP AD 2.
(1)求直線與平面所成角的正弦值;
(2)若點(diǎn)M,N分別在AB,PC上,且平面,試確定點(diǎn)M,N的位置.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,當(dāng)點(diǎn)E在B1D1(與B1,D1不重合)上運(yùn)動時(shí),總有:
①AE∥BC1; ②平面AA1E⊥平面BB1D1D;
③AE∥平面BC1D; ④A1C⊥AE.
以上四個(gè)推斷中正確的是( )
A.①②B.①④C.②④D.③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】4名運(yùn)動員參加一次乒乓球比賽,每名運(yùn)動員都賽場并決出勝負(fù).設(shè)第位運(yùn)動員共勝場,負(fù)場,則錯(cuò)誤的結(jié)論是( )
A.
B.
C. 為定值,與各場比賽的結(jié)果無關(guān)
D. 為定值,與各場比賽結(jié)果無關(guān)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性并指出相應(yīng)單調(diào)區(qū)間;
(2)若,設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),若,且恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD為菱形,且,平面ABCD,,且,.
Ⅰ求證:平面ACF;
Ⅱ求直線AE與平面ACF所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,平面,四邊形為正方形,四邊形為梯形,且,,,.
(1)求直線與平面所成角的正弦值;
(2)線段上是否存在點(diǎn),使得直線平面?若存在,求的值:若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某儀器經(jīng)過檢驗(yàn)合格才能出廠,初檢合格率為:若初檢不合格,則需要進(jìn)行調(diào)試,經(jīng)調(diào)試后再次對其進(jìn)行檢驗(yàn);若仍不合格,作為廢品處理,再檢合格率為.每臺儀器各項(xiàng)費(fèi)用如表:
項(xiàng)目 | 生產(chǎn)成本 | 檢驗(yàn)費(fèi)/次 | 調(diào)試費(fèi) | 出廠價(jià) |
金額(元) | 1000 | 100 | 200 | 3000 |
(Ⅰ)求每臺儀器能出廠的概率;
(Ⅱ)求生產(chǎn)一臺儀器所獲得的利潤為1600元的概率(注:利潤出廠價(jià)生產(chǎn)成本檢驗(yàn)費(fèi)調(diào)試費(fèi));
(Ⅲ)假設(shè)每臺儀器是否合格相互獨(dú)立,記為生產(chǎn)兩臺儀器所獲得的利潤,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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